【不定滑窗】2024D-最大可购买的宝石数量

题目描述与示例

本题练习地址：https://www.algomooc.com/problem/P3207

题目描述

橱窗里有一排宝石，不同的宝石对应不同的价格，宝石的价格标记为gems[i],0<=i<n，n = gems.length。宝石可同时出售0个或多个，如果同时出售多个，则要求出售的宝石编号连续；

例如客户最大购买宝石个数为m，购买的宝石编号必须为gems[i],gems[i+1]...gems[i+m-1](0<=i<n,m<=n)。假设你当前拥有总面值为value的钱，请问最多能购买到多少个宝石。如无法购买宝石，则返回0。

输入描述

第一行输入n，参数类型为 int，取值范围：[0,10^6]，表示橱窗中宝石的总数量。

之后n行分别表示从第0个到第n-1个宝石的价格，即gems[0]到gems[n-1]的价格，类型为int，取值范围：(0,1000]。

之后一行输入v，类型为int，取值范围：[0,10^9]表示你拥有的钱。

输出描述

输出int类型的返回值，表示最大可购买的宝石数量。

示例一

输入

输出

说明

gems = [8,4,6,3,1,6,7], value = 10` 最多购买的宝石为`gems[2]`至`gems[4]`或者`gems[3]`至`gems[5]

示例二

输入

0
1

输出

说明

gems = []`,`value = 1` 因为没有宝石，所以返回`0

示例三

输入

输出

说明

gems = [6, 1, 3, 1, 8, 9, 3, 2, 4]`,`value = 15` 最多购买的宝石为`gems[0]`至`gems[3]

示例四

输入

输出

说明

gems = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], value = 10 最多购买的宝石为gems[0]至gems[8]，即全部购买

解题思路

由于购买的宝石的下标必须连续，所以题目本质上是要求找到最长的和小于value的连续子数组。由于所有元素均为正整数，所以考虑滑窗而非前缀和求和。直接考虑滑窗三问三答即可。

滑窗三问

Q1： 对于每一个右指针right所指的元素num，做什么操作？

Q2： 什么时候要令左指针left右移？left对应的元素做什么操作？while中的循环不变量是什么？

Q3： 什么时候进行ans的更新？

滑窗三答

A1： 将 num计入窗口之和win_sum中。

A2： win_sum > max_sum，win_sum减去left_num，left右移，直到win_sum <= M成立。

A3： win_sum <= M时，可以更新答案，这个过程发生在将num计入窗口之和win_sum中之后。

代码

Python

# 题目：【不定滑窗】2023C-最大可购买的宝石数量
# 分值：100
# 作者：许老师-闭着眼睛学数理化
# 算法：不定滑窗
# 代码看不懂的地方，请直接在群上提问


# 输入宝石数组长度
n = int(input())
nums = list()
# 循环n次，每次循环输入一个数，按顺序存入nums数组中
for _ in range(n):
    nums.append(int(input()))

# 输入子数组的最大和
max_sum = int(input())

# 初始化窗口和
win_sum = 0
# 初始化左指针和ans
left, ans = 0, 0

# 进行滑窗
for right, num in enumerate(nums):
    # A1
    win_sum += num
    # A3
    if win_sum <= max_sum:
        ans = max(ans, right-left+1)
    # A2
    while win_sum > max_sum:
        win_sum -= nums[left]
        left += 1

print(ans)

Java

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int[] nums = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = scanner.nextInt();
        }

        int maxSum = scanner.nextInt();

        int windowSum = 0;
        int left = 0;
        int ans = 0;

        for (int right = 0; right < n; right++) {
            windowSum += nums[right];
            if (windowSum <= maxSum) {
                ans = Math.max(ans, right - left + 1);
            }
            while (windowSum > maxSum) {
                windowSum -= nums[left];
                left++;
            }
        }

        System.out.println(ans);
    }
}

C++

#include <iostream>
#include <vector>

int main() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<int> nums(n);

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        std::cin >> nums[i];
    }

    int maxSum;
    std::cin >> maxSum;

    int windowSum = 0;
    int left = 0;
    int ans = 0;

    for (int right = 0; right < n; right++) {
        windowSum += nums[right];
        if (windowSum <= maxSum) {
            ans = std::max(ans, right - left + 1);
        }
        while (windowSum > maxSum) {
            windowSum -= nums[left];
            left++;
        }
    }

    std::cout << ans << std::endl;

    return 0;
}

时空复杂度

时间复杂度：O(N)。仅需一次遍历数组nums。

空间复杂度：O(1)。仅需若干常数变量。